Содержание
«8% годовых на 10 лет — значит, +80%, верно?» Нет. На самом деле капитал вырастет на 116%, то есть больше чем вдвое. Разница между 80% и 116% — это и есть сложный процент: проценты начисляются не только на исходную сумму, но и на ранее начисленные проценты. Чем дольше срок, тем сильнее интуиция вас обманывает. Разберём, откуда берётся этот эффект и как его быстро прикидывать в уме.
Простой процент против сложного
Простой процент начисляется только на первоначальную сумму. 8% от 100 000 ₽ — это 8 000 ₽ каждый год, всегда одинаково:
Итог = Сумма × (1 + ставка × число лет)
За 10 лет: 100 000 × (1 + 0,08 × 10) = 100 000 × 1,8 = 180 000 ₽. Вот откуда берётся интуитивное «+80%».
Сложный процент начисляется на сумму вместе с уже накопленными процентами. Формула — степенная, а не линейная:
Итог = Сумма × (1 + ставка)^число лет
За 10 лет: 100 000 × 1,08¹⁰ = 100 000 × 2,1589 = 215 892 ₽, то есть +116%. Разница с простым процентом — почти 36 000 ₽, и она растёт с каждым годом.
| Год | Простой процент | Сложный процент | Разница |
|---|---|---|---|
| 1 | 108 000 ₽ | 108 000 ₽ | 0 ₽ |
| 5 | 140 000 ₽ | 146 933 ₽ | 6 933 ₽ |
| 10 | 180 000 ₽ | 215 892 ₽ | 35 892 ₽ |
| 20 | 260 000 ₽ | 466 096 ₽ | 206 096 ₽ |
| 30 | 340 000 ₽ | 1 006 266 ₽ | 666 266 ₽ |
На горизонте 30 лет сложный процент даёт в три раза больше прироста, чем простой. Это не «магия» — это степенная функция против линейной.
Почему интуиция занижает результат
Мозг считает проценты линейно: «8% в год × 10 лет = 80%». Но каждый год база, на которую начисляется ставка, становится больше. В первый год 8% берутся от 100 000, в десятый — уже от 199 900. Эти «проценты на проценты» и есть то, что Эйнштейну приписывают (без подтверждения) формулировку «восьмого чуда света».
Чтобы перевести годовую ставку в полный множитель за весь срок, нельзя умножать — нужно возводить в степень:
общий рост за n лет = (1 + r)ⁿ − 1
При r = 8% и n = 10 это (1,08¹⁰ − 1) = 1,1589, то есть 115,9%, а не 0,08 × 10 = 80%.
Правило 72: удвоение в уме
Чтобы прикинуть, за сколько лет сумма удвоится при сложном проценте, не нужен калькулятор — есть правило 72:
число лет до удвоения ≈ 72 / годовая ставка в %
- При 8% годовых: 72 / 8 = 9 лет до удвоения (точное значение — 9,01 года).
- При 12%: 72 / 12 = 6 лет.
- При 4%: 72 / 4 = 18 лет.
Правило работает с хорошей точностью для ставок 4–15%. Обратное правило тоже полезно: чтобы удвоить капитал за 6 лет, нужна доходность примерно 72 / 6 = 12% годовых.
Частота капитализации тоже важна
Одна и та же годовая ставка даёт разный результат в зависимости от того, как часто проценты присоединяются к телу вклада. Это эффективная ставка против номинальной:
Эффективная ставка = (1 + r / m)^m − 1
где m — число начислений в году.
| Капитализация | Формула при 8% | Эффективная ставка за год |
|---|---|---|
| Раз в год | 1,08 | 8,00% |
| Раз в квартал | (1 + 0,08/4)⁴ | 8,24% |
| Ежемесячно | (1 + 0,08/12)¹² | 8,30% |
| Ежедневно | (1 + 0,08/365)³⁶⁵ | 8,33% |
Поэтому в рекламе вкладов рядом со ставкой часто указывают «эффективную ставку с учётом капитализации» — она всегда выше номинальной, если проценты капитализируются чаще раза в год. Разница невелика на коротком сроке, но на длинном — снова работает в плюс.
Сложный процент работает и против вас
Тот же механизм действует на долгах и на инфляции, только в минус:
- Кредитная карта с 30% годовых и ежемесячной капитализацией даёт эффективную ставку (1 + 0,30/12)¹² − 1 ≈ 34,5% в год. Долг, который не гасят, растёт по той же степенной кривой.
- Инфляция обесценивает деньги тоже по сложной формуле. При 7% инфляции в год покупательная способность 100 000 ₽ через 10 лет составит 100 000 / 1,07¹⁰ ≈ 50 835 ₽ — почти вдвое меньше.
Поэтому реальная доходность вклада — это не «ставка минус инфляция» в лоб, а отношение множителей: (1 + ставка) / (1 + инфляция) − 1.
Как прикинуть быстро
- Не умножайте ставку на годы — это простой процент, он занижает результат на длинном сроке.
- Возводите (1 + ставка) в степень числа лет — это сложный процент.
- Для удвоения используйте правило 72 — делите 72 на ставку в процентах.
- Сравнивайте по эффективной ставке, если капитализация чаще раза в год.
Чтобы не считать степени вручную, удобно посчитать в калькуляторе сложного процента — он показывает рост капитала по годам с учётом пополнений и частоты капитализации. А базовые операции «найти процент от числа» или «на сколько процентов одно больше другого» закрывает калькулятор процентов. Для оценки, как вклад обгонит инфляцию, пригодится калькулятор вклада.