Калькулятор квадратного уравнения

Что считает калькулятор

Введите коэффициенты a, b и c из уравнения вида ax² + bx + c = 0 — калькулятор сразу выдаст:

• дискриминант D = b² − 4ac;
• корни уравнения (два, один или пару комплексных — в зависимости от знака D);
• разложение на множители a(x − x₁)(x − x₂);
• координаты вершины параболы y = ax² + bx + c.

Коэффициент a не может быть нулём: при a = 0 уравнение перестаёт быть квадратным и становится линейным.

Формула корней через дискриминант

Сначала считают дискриминант:

D = b² − 4ac

Затем по его знаку определяют количество корней:

• D > 0 — два разных действительных корня:

  x₁,₂ = (−b ± √D) / (2a)

• D = 0 — один корень (его называют корнем кратности 2):

  x = −b / (2a)

• D < 0 — действительных корней нет, есть пара комплексно-сопряжённых:

  x₁,₂ = (−b ± i√|D|) / (2a)

Теорема Виета

Для приведённого уравнения (a = 1) сумма и произведение корней связаны с коэффициентами:

x₁ + x₂ = −b
x₁ · x₂ = c

Это удобно для быстрой проверки: если вы нашли корни 2 и 3, то их сумма должна равняться −b, а произведение — c. В общем случае (a ≠ 1) сумма равна −b/a, а произведение — c/a.

Вершина параболы

График функции y = ax² + bx + c — парабола. Её вершина находится в точке:

x₀ = −b / (2a),   y₀ = f(x₀)

Если a > 0, ветви направлены вверх и вершина — это минимум функции; если a < 0, ветви смотрят вниз и вершина — максимум. Абсцисса вершины всегда лежит ровно посередине между корнями (когда они есть).

Пример

Для уравнения x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты a = 1, b = −5, c = 6. Дискриминант D = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, он положительный, значит корня два: x₁ = (5 + 1)/2 = 3 и x₂ = (5 − 1)/2 = 2. Разложение на множители: (x − 3)(x − 2) = 0.